MATEMÁTICAS

REFLEXIÓN SOBRE EL BLOG

 FUNCIONES

Las funciones son reglas que relacionan los elementos de un conjunto con los elementos de un segundo conjunto.

Una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). A cada elemento de X le corresponde, un y solo un elemento de Y.

El elemento x del primer conjunto es la variable independiente. Es un valor que se fija previamente.

La letra y es la variable dependiente y corresponde a los elementos del conjunto final. Ésta variable depende del valor de la variable independiente x.

A f(x) se le denomina imagen de x

Ejercicio

Por ejemplo, una función podría ser hacer corresponder a cada número x el doble de dicho número (2x).

Dominio de la función

El dominio de una función f es el subconjunto Dom f (o D) de elementos que tienen imagen. Es decir, el conjunto de elementos x de la variable independiente X que tienen imagen en Y. También se le llama campo de existencia de la función.

Recorrido de la función

El recorrido de una función f es el conjunto Im f (o Rec f) de todos los elementos que toma la variable dependiente. Es decir, el conjunto de todas las imágenes.

También se le llama rango de una función o codominio.

Formalmente se define el recorrido de una función como:

Las funciones en que el recorrido de la función Im f es el mismo que el conjunto final Y son funciones sobreyectivas.

Crecimiento y decrecimiento

La tasa de variación indica cómo cambia una función al pasar de un punto a otro. Esta tasa examina si la función crece o decrece en una región.

El crecimiento o decrecimiento de una función f se puede estudiar en un intervalo [a,b], en un punto x o en todo el dominio.

Máximos y mínimos

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.

Continuidad y discontinuidad

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.

Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

La continuidad de una función se estudia en diferentes sectores de la función:

• Continuidad en un punto
• Continuidad lateral
• Continuidad en un intervalo

Tipos de funciones

Las funciones se pueden clasificar según su tipología:

Función polinómica

Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio tal como:

El dominio de las funciones son todos los números reales.

Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.

Función constante

Una función f es constante si la variable dependiente y toma el mismo valor a para cualquier elemento del dominio (variable independiente x).

En términos matemáticos, la función f es constante si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del dominio tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) = f(x₂).

La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje de abscisas X.

Función polinómica de primer grado

Las funciones polinómicas de primer grado o de grado 1 son aquellas que tienen un polinomio de grado 1 como expresión. Están compuestas por un escalar que multiplica a la variable independiente más una constante. Su mayor exponente es x elevado a 1.

Su representación gráfica es una recta de pendiente m.

La m es la pendiente y la n la ordenada, o punto en donde corta la recta f al eje de ordenadas. Según los valores de m y n existen tres tipos:

Función afín

Una función afín es una función polinómica de primer grado que no pasa por el origen de coordenadas, o sea, por el punto (0,0).

Las funciones afines son rectas definidas por la siguiente fórmula:

Los escalares m y n son diferentes de 0.

Función lineal

Una función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma:

Función identidad

Una función identidad es una función tal que la imagen de cualquier elemento es éste mismo:

Estas funciones también suele denotarse por id.

La función identidad es una función lineal de pendiente m = 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su bisectriz.

Función cuadrática

Las funciones cuadráticas (o funciones de segundo grado) son funciones polinómicas de grado 2, es decir, el mayor exponente del polinomio es x elevado a 2 (x²):

Su representación gráfica es una parábola vertical.

Función cúbica

Las funciones cúbicas (o funciones de tercer grado) son funciones polinómicas de grado 3, es decir, las que el mayor exponente del polinomio es x elevado a 3 (x³):

La representación gráfica de la función cúbica es:

Función racional

Las funciones racionales f(x) son el cociente de dos polinomios. La palabra racional hace referencia a que esta función es una razón.

P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador.

Función exponencial

Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

También se suele denotar la función como exp (x).

Función logarítmica

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos (o función por partes) si la función tiene distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable independiente (x).

Por ejemplo:

La imagen de un valor x se calcula según en que intervalo se encuentra x. Por ejemplo, el 0 se encuentra en el intervalo ]-∞,1[, por lo que su imagen es f(0)=0. El valor 3 está en el intervalo [1,4], entonces su imagen es f(3)=2.

Concavidad y convexidad

La concavidad y convexidad explica la forma geométrica que tiene una función.

En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras que una función convexa a un valle.

Diremos que una función es cóncava (o cóncava hacia abajo) si dados dos puntos cualesquiera (M y N) de su gráfica, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función. También se llaman funciones estrictamente cóncavas.

Análogamente, diremos que la función es convexa (o cóncava hacia arriba) si tomando dos puntos cualquiera (M y N), el segmento que los une queda por encima de la curva. También se llaman funciones estrictamente convexas.

Simetría

Una función f es simétrica si al doblar su gráfica por un eje de simetría ésta se superpone.

Existen dos tipos de simetrías:

1. Funciones simétricas respecto al eje de ordenadas OY (también se llaman funciones pares).
2. Funciones simétricas respecto al origen (también llamadas funciones impares).

Estudiar si la función es simétrica se llama estudio de la simetría o, al tratarse de funciones pares o impares, estudio de la paridad.

Las funciones que no son simétricas son asimétricas.

   TRIGONOMETRÍA
Definición:La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'


REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE


Un ángulo puede estar situado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de la circunferencia. Los valores de sus correspondientes razones trigonométricas dependen de su posición.

Cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, tercero o cuarto cuadrante siempre es posible relacionarlo con otro del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tengan los mismos valores absolutos.

Las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos situados en los distintos cuadrantes resultaba esencial cuando no se disponía de calculadoras. Existían tablas con los valores de las razones para ángulos del primer cuadrante. Los demás ángulos no figuraban en la tabla pues no era necesario: bastaba con reducirlo al primer cuadrante.

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Ángulos suplementarios son los que suman 180º. Si el valor de un ángulo es "A", el valor del suplementario será "180º-A".




La relación de las razones trigonométricas de un ángulo con las de su suplementario va a permitir "reducir" ángulos del segundo al primer cuadrante.

sen (180º-A) = segmento (180º-A)N = segmento AM = sen A
cos(180º-A) = segmento ON = - segmento OM = - cos A

y haciendo el cociente de seno entre coseno:

tg (180º-A) = sen (180º-A)/cos(180º-A) = sen A / - cos A = - tg A

En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos suplementarios son:

sen (180º-A) = + sen A
cos(180º-A) = - cos A
tg (180º-A) = - tg A

EJEMPLO:

 Dado el ángulo 127º reducirlo al primer cuadrante.SOLUCIÓN:
El ángulo 127º se encuentra en el segundo cuadrante. Su suplementario es 180º - 127º = 53º, tenemos entonces
sen 127º = sen 53º; cos 127º = - cos 53º; tg 127º = - tg 53º

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180º

Si el valor de un ángulo es "A", el valor del otro ángulo que se diferencia en 180º será "180º+A".

La relación de las razones trigonométricas de un ángulo A con las de 180º+A va a permitir "reducir" ángulos del tercer al primer cuadrante.

Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(180º+A) son iguales ya que siendo rectángulos tienen la hipotenusa y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (180º-A)ON
Así que:

sen (180º+A) = segmento (180º+A)N = - segmento AM = - sen A
cos(180º+A) = segmento ON = - segmento OM = - cos A

y haciendo el cociente de seno entre coseno

tg (180º+A) = sen (180º+A)/cos(180º+A) = - sen A / - cos A = tg A

En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos que se diferencian 180º son:

sen (180º+A) = - sen A
cos(180º+A) = - cos A
tg (180º+A) = + tg A

EJEMPLO:

Dado el ángulo 215º reducirlo al primer cuadranteSOLUCIÓN:
El ángulo 215º se encuentra en el tercer cuadrante. Este ángulo se diferencia 180º con 215º - 180º = 35º , tenemos entonces
sen 215º = - sen 35º; cos 215º = - cos 35º; tg 215º = tg 35º

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS

Si el valor de un ángulo es "A", el valor de su opuesto es obviamente -A
La relación de las razones trigonométricas de un ángulo A con las de su opuesto -A va a permitir "reducir" ángulos del cuarto al primer cuadrante.

Los triángulos OMA y ON(-A) son iguales ya que siendo rectángulos tienen igual la hipotenusa (OA = O(-A)) y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (-A)ON = A

Por eso:

sen (-A) = segmento (-A)N = - segmento MA = - sen A

cos(-A) = segmento ON = segmento OM = cos A

y haciendo el cociente de seno entre coseno

tg (-A) = sen (-A)/cos(-A) = - sen A / cos A = - tg A

En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos opuestos son:

sen (-A) = - sen A
cos(-A) = - cos A
tg (-A) = + tg A

              

EJEMPLO:

Dado el ángulo 330º reducirlo al primer cuadranteSOLUCIÓN:
El ángulo 330º se encuentra en el cuarto cuadrante. Este ángulo viene representado por el mismo radio vector que el ángulo -30º, tenemos entonces
sen 330º = sen (-30º) = - sen 30º ; cos 330º = cos (-30º) = cos 30º; tg 330º = tg ( -30º) = - tg 30º
Aquí tienen una imagen que les puede ayudar:


Si no les ha quedado claro les recomiendo que se miren este video:
https://www.youtube.com/watch?v=3Nh-Jynv46E



¿CÓMO PASO DE RADIANES A GRADOS Y DE GRADOS A RADIANES?

 GRADOS --> RADIANES

Para pasar de grados a radianes lo hacemos mediante una regla de tres, teniendo en cuenta la equivalencia entre radianes y grados.

Por ejemplo, ¿cuántos radianes son 60º?

Planteamos la regla de tres: Si 180º son π radianes, 60º serán x radianes. Ponemos los grados debajo de los grados y los radianes debajo de los radianes:



Y ahora despejamos la x:



Ya sólo nos queda operar. Para dejarlo el resultado en múltiplos de π , simplificamos los números que tenemos en la operación y nos queda:



Por tanto, 60º equivalen a π /3 radianes:



Como te he comentado antes, no es obligatorio dejar los radianes en función de π , por lo que si te es más fácil, puedes sustituir π por 3,14 y operar con la calculadora, cuyo resultado será:

RADIANES --> GRADOS

Para pasar de radianes a grados, lo hacemos igual que antes, con una regla de 3, solo que esta vez, la incógnita a despejar serán los grados.

Ejemplo:

¿Cuántos grados son 3π /4 radianes?

Planteamos la regla de tres: Si π radianes son 180º, 3π/4 radianes seran x grados:



Despejamos la x y resolvemos:



Por tanto 3π/4 radianes equivalen a 135º



Grados y radianes en las razones trigonométricas con la calculadora

Para calcular las razones trigonométricas tanto en grados como en radianes es necesario que la calculadora la pongas en modo “grados” o en modo “radianes”.

Por defecto, la calculadora está en “grados” y para trabajar con radianes hay que cambiarla a “radianes”, pero mucho cuidaddo, porque es muy habitual cambiarla a “radianes” y olvidarse y luego trabajar con grados, entonce estará todo mal.

Asegúrate que la calculadora está siempre en el modo que quieres.

Si calculas el seno de 90º con la calculadora (que por defecto está en “grados”), verás que el resultado es 1:



Si pasas 90º a radianes, verás que 90º=π/2 radianes, por lo que el seno de π/2 también es 1:



Sin embargo, si calculas el seno de π/2 con la calculadora en “grados”, el resultado no será el correcto, ya que te dará 0,027:



Ya que realmente estarás calculando el seno de 1,57º (que es el resultado de dividir π entre 2).

Para calcular el seno de π/2 correctamente y que el resultado sea 1, entonces la calculadora debe estar en “radianes”.

Es un despiste muy frecuente, así que asegurate siempre de que la tienes en el modo correcto.

Y como siempre, aquí tienen un vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=S5xmJTmqQFA

       RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas.



Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

 Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.
El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa(c).




El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).



La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

Razones trigonométricas recíprocas

Las razones trigonométricas recíprocas (o recíprocas) son los inversos multiplicativos de las razones trigonométricas.

 Éstas son:
Cosecante (csc): es la razón inversa del seno. Es decir, csc α · sen α=1.
Secante (sec): la razón inversa del coseno. Es decir, sec α · cos α=1
Cotangente (cot): es la razón inversa de la tangente. También en este caso, cot α · tan α=1
Relación entre razones trigonométricas





Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Relaciones trigonométricas básicas

Identidad fundamental de la trigonometría


Relación entre el seno, coseno y tangente


Relación trigonométrica entre la tangente y la secante


Relación trigonométrica entre la cosecante y la cotangente

Ángulos complementarios

Seno del ángulo complementario:


Coseno del ángulo complementario:


Tangente del ángulo complementario:

Cosecante del ángulo complementario:


Secante del ángulo complementario:


Cotangente del ángulo complementario:

Ángulos suplementarios

Seno del ángulo suplementario:


Coseno del ángulo suplementario:

Tangente del ángulo suplementario:


Cosecante del ángulo suplementario:


Secante del ángulo suplementario:

Cotangente del ángulo suplementario:

Ángulos conjugados

Seno del ángulo conjugado:


Coseno del ángulo conjugado:


Tangente del ángulo conjugado:


Cosecante del ángulo conjugado:


Secante del ángulo conjugado:


Cotangente del ángulo conjugado:

Ángulos opuestos

Seno del ángulo opuesto:


Coseno del ángulo opuesto:


Tangente del ángulo opuesto:


Cosecante del ángulo opuesto:


Secante del ángulo opuesto:


Cotangente del ángulo opuesto:

Ángulos que difieren 90º

Seno del ángulo que difiere 90º


Coseno del ángulo que difiere 90º:


Tangente del ángulo que difiere 90º:


Cosecante del ángulo que difiere 90º:


Secante del ángulo que difiere 90º:


Cotangente del ángulo que difiere 90º:

Ángulos que difieren 180º

Seno del ángulo que difiere 180º:

Coseno del ángulo que difiere 180º


Tangente del ángulo que difiere 180º:


Cosecante del ángulo que difiere 180º:


Secante del ángulo que difiere 180º:

Cotangente del ángulo que difiere 180º:

Y como no, nuestro vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=He7SY4kFDVA

TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO

Teorema del seno

Ejemplo

Resolver un triángulo con los siguientes datos: a = 4 cm, b = 5 cm y B = 30º

-   Dibujamos el triángulo, nombramos los ángulos y lados, colocamos los datos conocidos y resolvemos. Resolver un triángulo es decir lo que valen sus 3 ángulos y sus 3 lados.

Teorema del coseno

Ejemplo

Resolver un triángulo con los datos siguientes: a = 1200 m, c= 700 m y B = 108º

-   Dibujamos el triángulo, nos dan 2 lados y el ángulo que forman.

Calculamos el lado b aplicando el teorema del coseno.

https://www.youtube.com/watch?v=jpcaEgqeoFc

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS USANDO LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Una ecuación que contiene funciones trigonométricas es llamada una ecuación trigonométrica 

Ejemplo:

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran las funciones trigonométricas que son verdaderas para cada valor de las variables involucradas. Puede usar las identidades trigonométricas junto con los métodos algebraicos para resolver las ecuaciones trigonométricas.

Ejemplo :

La ecuación contiene tanto la función seno como coseno.

Reescribimos la ecuación para que solo contenga funciones coseno  sin 2 x = 1 – cos 2 x .

Factorizando cos x obtenemos, cos x (2 cos x + 1) = 0.

Usando la propiedad del producto cero , obtendremos cos x = 0, y 2cos x + 1 = 0 lo que nos arroja cos x = –1/2.

En el intervalo [0, 2 π ), sabemos que cos x = 0 cuando x = π /2 y x = 3 π /2. Por otro lado, también sabemos que cos x = –1/2 cuando x = 2 π /3 y x = 4 π /3.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación dada   son

PREGUNTAS PERSONALES SOBRE TRIGONOMETRÍA:

¿Qué es lo más importante que he aprendido de esta unidad y durante el tiempo  en el que transcurrió?

Pienso que la trigonometría en sí ya es importante, no hay nada que "resalte" por decirlo de alguna manera.

¿Qué dificultades, preguntas o dudas se me plantean?

Sinceramente, pienso que este tema es uno de los más difíciles junto al Álgebra, así que sigo teniendo dudas con las ecuaciones por ejemplo.

¿Qué consecuencias tiene  tiene lo aprendido con mi vida, a nivel personal y académico?

Académicamente, me sirve para resolver problemas y aprobar exámenes aunque no me sirve mucho para la vida real, tal vez para alguien que quiera una carrera de ingeniería o de un grado en matemáticas.

¿Para qué sirve?¿Qué puedo hacer yo con ello?

Sirve para la resolución de triángulos y todo lo que tenga que ver con ellos.

 NOTICIA MATEMÁTICA

Descubierto el número primo más largo, con 23 millones de cifras
Un ingeniero estadounidense de 51 años supera el anterior récord por casi un millón de dígitos.

Un ingeniero eléctrico estadounidense de 51 años, Jonathan Pace, ha descubierto el número primo más largo conocido hasta la fecha, con más de 23 millones de cifras, según ha anunciado su equipo en un comunicado

. Los números primos son aquellos que solo se pueden dividir por sí mismos y por la unidad, como 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… Están considerados los átomos de las matemáticas, sus ladrillos indivisibles, ya que cualquier número entero se puede descomponer como el producto de unos primos. Por ejemplo, 12 es 3 x 2 x 2, descompuesto en primos.


El número hallado por Pace pertenece a una familia especial de números primos, la de los primos de Mersenne. Responden a la forma 2n – 1. Por ejemplo, 22 – 1 = 3, así que 3 es el primer primo de Mersenne. En el año 1588, el matemático italiano Pietro Cataldi demostró que 217 – 1 = 131.071, el mayor primo de Mersenne hasta entonces. En todos estos siglos, la humanidad solo había encontrado 49 primos de esta familia. El detectado ahora por Pace es el quincuagésimo. Se obtiene con la fórmula 277.232.917 – 1 y tiene 23.249.425 cifras, casi un millón más que el anterior record, obtenido hace dos años.

La búsqueda de estos primos gigantescos no es un mero pasatiempo, según explica Manuel de León, director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en Madrid. El algoritmo criptográfico RSA, que se utiliza para garantizar la seguridad del intercambio de información en la web, está basado en esta descomposición de números enteros en números primos. Cuanto más grandes sean estos, más difícil será romper el código. Las transacciones comerciales por internet y la privacidad de las comunicaciones dependen en parte de los números primos.

Jonathan Pace vive en Germantown, una pequeña ciudad a las afueras de Memphis, y trabaja para la empresa de logística FedEx. Es uno de los miles de voluntarios de GIMPS, un proyecto colaborativo para buscar números primos de Mersenne por internet, mediante un programa gratuito elaborado por los científicos de la computación George Woltman, Scott Kurowski y Aaron Blosser. Pace mantuvo un ordenador personal con un procesador Intel i5-6600 trabajando durante seis días sin parar hasta demostrar que 277.232.917 – 1 es un número primo. Se llevará una recompensa de 3.000 dólares. La Fundación Fronteras Electrónicas, con sede en San Francisco (EE UU),ofrece 150.000 dólares a la primera persona que encuentre un número primo de 100 millones de cifras.





TRABAJO CON TRIÁNGULOS
Aquí tienen algunos de los triángulos que he hecho en Geogebra:
- Triángulo conocidos sus tres lados

 - Triángulo conocidos sus dos lados

 - Triángulo conocidos un lado y sus ángulos adyacentes

ÁLGEBRA

Método de Gauss:

Antes que nada, debemos saber que el método de Gauss-Seidel es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Se llama así en honor a los matemáticos  Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.

Para resolver por este método, tenemos que seguir estos 4 sencillos pasos:

1º Primero, hacemos que la X valga cero utilizando de la segunda ecuación (F2) reduciéndola con la primera ecuación (F1).

( A la segunda y tercera ecuacion se le puede multiplicar números)

2º Después, tenemos que hacer que valga cero la X de la tercera ecuación (F3) reduciéndola con la primera ecuación(F1).

3º Lo siguiente es conseguir que valga cero la Y o la Z de la tercera ecuación (F3) jugando con la segunda (F2) y la tercera ecuación (F2).

4º Y por último,con este sistema  podemos obtener las soluciones haciendo las ecuaciones de primer grado.

Aquí se explica muy bien cómo hacer todos los pasos que hemos echo y emplearlos en el sistema:

Imagen de : http://profe-alexz.blogspot.com.es/2012/08/metodo-gauss-sistema-ecuaciones-4x4.html

Este vídeo les ayudará:
https://www.youtube.com/watch?v=-PWtVxzmhOo

INECUACIONES:

INECUACIONES

 Es una DESIGUALDAD entre dos expresiones algebraicas de una o varias incógnitas, que solo se verifica para ciertos valores de esas incógnitas; se expresa con los signos >, <, ≥ y ≤.

   "< " Menor que                                                    "≤." Menor o igual que           

  

   ">" Mayor que                                                     ">" Mayor o igual que

Se puede representar en dos distintas formas:

1º La recta real

2º En intervalo/s     

Las inecuaciones trata de poner todos los valores de "x" juntos y todos los demás al otro lado

PRIMER GRADO:

SEGUNDO GRADO

Les dejo un vídeo por aquí para que lo pilléis mejor con mi profesor youtuber favorito: 

https://www.youtube.com/watch?v=uRlK2Omifsg

SISTEMAS DE INECUACIONES

Primer Grado:

Cuando tenemos un sistema de desigualdades resolvemos cada una de ellas por separado, la solución va a ser la común a las desigualdades.

Segundo Grado

Para resolver desigualdades de segundo grado o de grado superior es necesario descomponer en factores. Recuerda que para hacer la descomposición factorial dependiendo de la ecuación podemos sacar factor común, resolver la ecuación de segundo grado o aplicar la regla de Ruffini.

FRACCIONES ALGEBRÁICAS:

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios, siendo el denominador no nulo. Son fracciones algebraicas: Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas a la hora de trabajar con ellas.

Hay que saber que:

• Numerador: la parte de arriba de la fracción (por ejemplo (x+5)/(2x+3)).
• Denominador: la parte inferior de la fracción (por ejemplo (x+5)/(2x+3)).
• Común denominador: este es el número que puedes dividir entre los números de la parte superior y la inferior. Por ejemplo, en la fracción 3/9, el común denominador es 3, ya que ambos números son divisibles entre 3.
• Factor: un número que se multiplica para tener otro. Por ejemplo, los factores de 15 son 1, 3, 5 y 15. Los factores de 4 son 1, 2 y 4.
• Ecuación simplificada: consiste en eliminar todos los factores comunes y agrupar variables similares (5x + x = 6x) hasta tener la forma más básica de una fracción, ecuación o problema. Si no puedes hacer nada más con la fracción, ya está simplificada.

Después, resolvemos fracciones simple. .

 Toma como ejemplo: 15/35. Para poder simplificar una fracción, debes encontrar el común denominador. En este caso, ambos números se pueden dividir entre 5, así que puedes eliminar el 5 de la fracción:
15 → 5 * 3
35 → 5 * 7
Ya puedes cancelar los términos semejantes. En este caso, puedes cancelar los dos cincos, dejando la respuesta simplificada de 3/7.

Elimina factores de expresiones algebraicas como si fueran números normales.

En el ejemplo anterior, puedes eliminar el 5 del 15 y el mismo principio aplica a expresiones más complejas como, 15x – 5.

 Encuentra un factor que ambos números tengan en común. Por ejemplo aquí, la respuesta es 5, ya que puedes dividir 15x y -5 entre 5. Como en los ejemplos anteriores, elimina el factor común y multiplícalo por lo que queda.
15x – 5 = 5 * (3x – 1) Para revisar tu trabajo, simplemente multiplica el 5 en tu expresión: terminarás con el mismo número con el que empezaste.

EXAMEN DE ÁLGEBRA


¿QUÉ TE HA PARECIDO EL EXAMEN POR PAREJAS?
Me ha parecido dentro de lo que cabe un poco difícil pero se puede justificar con que  era en parejas, aunque aparte de la dificultad, ha estado bien y claro.

¿HAS APRENDIDO ALGO NUEVO MIENTRAS LO HACÍAS?¿QUÉ?HE RECORDADO A DIVIDIR EN FRACCIONES Y EN LA CORRECCIÓN HE APRENDIDO A TENER MUCHO CUIDADO CON LOS SIGNOS, PORQUE PUEDE CAMBIARLO TODO.

¿QUÉ TE HA PARECIDO TRABAJAR CON LA PAREJA ELEGIDA?
Pues bien, ya que en algunos casos nos dábamos cuenta de los fallos que cometíamos uno y el otro.

¿ESTABAN AJUSTADAS LAS PREGUNTAS A LO QUE HABÍAMOS TRABAJADO EN CLASE?
Todo el temario lo hemos visto, aunque en el examen hubo más dificultad que en cualquier ejercicio realizado en clase.

¿LES DIO TIEMPO? ¿QUÉ QUITARÍAS O PONDRÍAS?
No nos dio tiempo y lo que haría sería reemplazar algún ejercicio que se necesite más tiempo por otro menos complejo.





😬NUEVO CURSO 😬

¡Hola a todos! Bueno, acabo de empezar un nuevo curso, 1º de Bachillerato de Ciencias y sí, eso significa más contenido nuevo en Mates! Todavía estamos a principios de Noviembre pero, hemos dado temas que les podría interesar,aparte, daré mi reflexión sobre cada tema ¡Empecemos!📚


NÚMEROS REALES😵
Números reales desde mi opinión es un tema muy sencillo ya que se basa en la clasificación de números desde números positivos, (que hemos visto desde primaria) hasta irracionales y radicales.
Se repite cada año y hacen muy bien, es un tema básico y significativo en el mundo matemático.
Me ha sido fácil aprenderme el tema y opino que es uno de lo más importantes de las matemáticas.
Algunas preguntas que se me han pasado por la cabeza aprendiendo los números reales son ínfimas, ahora todo lo que sé de números reales:

¿Qué es un número real?😕 
 La definición más clara sería que son todos los número que encontramos en la recta real. Esto incluye a los negativos,positivos, fracciones, irracionales, etc. 

Recuerden que entre el 1 y el 2 (por ejemplo) hay infinitos números al igual que con todos los números en la recta.

Con estas circunferencias  quiero enseñar que TODOS los números son reales aunque estén en diferentes grupos

 REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EN LA RECTA REAL 🙋 

En la recta, la representación de números reales se puede hacer con una exactitud aproximada, sin embargo, se pueden usar técnicas para representarlos de forma exacta. Como en el siguiente ejemplo de $\sqrt{7}$:

Allí se puede ver que la raíz de 7 se puede descomponer
Primero se descompone 7 en suma de cuadrados:

$$7=2^2+(\sqrt{3}{)}^2$$

💙Los sumandos  serán los puntos en el eje cartesiano que nos darán la ubicación del número en cada uno de los ejes del plano. La raíz de tres. Para ello primero representaré   $\sqrt{2}$ 

Se obtiene al trazar un triángulo cuyos catetos tengan valor de uno y cuya hipotenusa será igual a $\sqrt{2}$. El vértice superior luego se debe trasladar de forma circular y con pivote en cero hasta llegar a la línea horizontal o eje X:

Ahora descomponemos $\sqrt{3}$, obtenemos que:
$$3=1^2+(\sqrt{2}{)}^2$$

💙Por lo tanto, en la recta  se debe ubicar un punto entre estos dos números, sean 

$1$ y $\sqrt{2}$ de tal modo que el gráfico, sobre el gráfico anterior quedaría de esta manera:

Cuando ya tenemos la ubicación de $\sqrt{3}$ en el eje X y de $2$ en el eje Y. Ahora se procede a ubicar a $\sqrt{7}$ en la recta real, así:

 NOTACIÓN CIENTÍFICA

( Recordatorio de la notación científica está también a principio de la página)

La notación científica es un tema ya dado en 4º de Secundaria pero daré mi conclusión igualmente.

Este tema es mi FAVORITO y aún no sé porqué . He pensado que puede  ser por la facilidad del tema, pero tengo en cuenta que hay temas aún más fáciles.

Puede ser porque la notación científica no la aprendí en clase, si no con mi padre y de ahí también con la ayuda de internet.

Sirve para CUALQUIER cosa, y, para lo más  fundamental, el Cáculo Mental.

No me costó en absoluto este tema, fue uno de los más fáciles de toda mi vida en matemáticas.

DEFINICIÓN: La notación científica es un recurso matemático que sirve para simplificar cálculos y representar en forma breve números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan las potencias de 10.

EL NÚMERO MULTIPLICADO POR LA POTENCIA DE 10 (N)  SERÁ ENTRE 1 Y 10.

Su fórmula es: N X 10^x

Para expresar el número en notación científica:

• Primero: Se identifica la coma decimal (si la hay)
• Segundo:La desplazamos  hacia la izquierda (si el exponente de 10 es positivo) o

hacia la derecha (si el exponente de 10 es negativo)

• Tercero: Se rueda la coma tantos lugares como el número de exponente tenga 10 (x)

EJEMPLO:

7,341 X 10^6 = 0,000007341 ( Se a rotado la coma 6 veces)

2,3654 X 10^-4 = 23654 ( Se ha rotado la coma 4  veces)

¿CÓMO MULTIPLICAR CON NOTACIÓN CIENTÍFICA?

Primero tenemos que saber las dos notaciones:

N1 X 10^x1   y N2 X 10^x2  

Después, saber cómo multiplicarlas:

N1 X N2 X 10^x1 + x2 (Se suma los dos exponentes de 10 de cada operación)

EJEMPLO:

5,24 X 10^6    Y    6,3 X 10^8

(5,24 X 10^6) X (6,3 X 10 ^8) = 5,24 X 6,3 X 10^6+8 = 33,012 X 10^14 = 3,3012^15

    ¿CÓMO DIVIDIR CON LA NOTACIÓN CIENTÍFICA?

Primero tenemos que saber las dos notaciones:

N1 X 10^x1   y  N2 X 10^x2

Después, saber cómo  dividirlas:

(N1: N2) X 10^x1 - x2 ( Se resta los dos exponentes de 10 de cada operación)

EJEMPLO:

5,24 X 10^7   Y   6,3 X 10^4

(5,24 : 6,3)X 10^7-4 = 0,831746 • 10^3= 8,31746 • 10^-1   • 10^3  = 8,31746 • 10^2

Aquí un vídeo que les puede servir de mucho: https://www.youtube.com/watch?v=ok-IRe6ACaI

APROXIMACIÓN,REDONDEO Y TRUCAMIENTO 
Sinceramente, este tema es bastante útil, para cualquier cosa, como por ejemplo la contabilidad. Aconsejo que se lo aprendan bien porque se pueden confundir de términos que fue lo que me pasó a mí. Desde mi experiencia con el tema,es muy básico en el ámbito matemático.
No hubo preguntas que no haya sabido la respuesta, o una pregunta muy difícil para destacarla es un tema facilísimo como dije antes y solo hay que cogerle el tranquillo.
¡ÁNIMO!

(La aproximación es una representación inexacta de un número se puede hacer de varios modos:)
Defecto: Buscamos el número con un determinado número de cifras que es inmediatemente menor que el dado.

Exceso: Es el número con las cifras decimales fijadas inmediatemente mayor.

Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales:

- Por defecto es 1.34
- Por exceso es 1.35

Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error (la comparación entre el número sin aproximar y el número aproximado), en el ejemplo anterior los errores que se cometen son:

En defecto: | 1.3456 - 1.34 | = 0.0056
En exceso: | 1.3456 - 1.35 | = 0.0044

(Redondear un número consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comente un error menor)


 Por ejemplo:

Si redondeamos 1.3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1.35

(El truncamiento de un número decimal se eliminan las cifras a partir de aquellas en la que se realiza el truncamiento)

Truncamiento por la unidad: Se eliminan todas las cifras decimales.

45,325 se trunca por 45

122,3434 se trunca por 122

91,435123 se trunca por 91

Truncamiento por la décima: tan sólo se deja esta cifra decimal:


45,325 se trunca por 45,3

122,3434 se trunca por 122,3

91,435123 se trunca por 91,4

Truncamiento por la centésima: tan sólo se dejan dos cifras decimales:


45,325 se trunca por 45,32

122,3434 se trunca por 122,34

91,435123 se trunca por 91,43 

 
 

RADICALES 💜

 Radicales podría considerarse uno de los más difíciles de la matemática, me costó muchísimo (a día de hoy me sigue costando) aprendérmelo ya que es complejo, pero todo se basa en practicar. No se asusten porque hayan muchas raíces juntas o divisiones de raíces con índice (fue lo que me pasó) y léanselo bien y despacio. Después de entenderlo, les va a encantar.
Radicales sirve no solo para matemáticas y para clase (en mi opinión) creo que podría servir para muchos programas y al llegar a este tema piensen... por fin esas pizarras infinitas que veíamos en las películas como raíces en raíces o índices inmensos... ¡Ya nosotros sabremos hacerlo y que significa! 

Cuando no puedes simplificar un número para quitar una raíz cuadrada (o una raíz cúbica, etc.) entonces es un radical.

Ejemplo: √2 (la raíz cuadrada de 2) no se puede simplificar más así que es un radical.

Pero  √4 (la raíz cuadrada de 4) sí se puede simplificar (queda 2), así que no es un radical.

He encontrado una tabla con ejemplos de números radicales y otros que no, nos ayudará para reconocer los radicales :

Número	Simplificado	En decimal	¿Radical o no?
√2	√2	1.4142135(etc)	Radical
√3	√3	1.7320508(etc)	Radical
√4	2	2	No es radical
√(1/4)	1/2	0.5	No es radical
3√(11)	3√(11)	2.2239800(etc)	Radical
3√(27)	3	3	No es radical
5√(3)	5√(3)	1.2457309(etc)	Radical

 

Si es una raíz e irracional, es un radical.

NOTITA: No todas  las raíces son radicales.

ESTRUCTURA Y SOLUCIONES DE LAS RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES 

SUMA DE RADICALES

Para sumar radicales deben ser semejantes, tener el mismo índice y el mismo radicando

Se suma los coeficientes y se deja el mismo índice y radicando.

Cuando los radicales no son semejantes, para conseguir que lo sean hay que extraer factores fuera del radical.

Ejemplo: √18 + √50 +√2 -√8

1º  Descomponemos en factores

√18 + √50 +√2 -√8 = √(2 3^2) + √(2 5^2)+ √2 - √(2^3)

2º  Extraemos factores

Para poder extraer factores de un radical, deben tener el mismo exponente que el índice que la raíz y estar multiplicando o dividiendo dentro del radicando.

Si están sumando no se pueden extraer

- En ese caso ya tenemos preparado el 3^2 y el 5^2 para poderlos extraer

√(2 3^2) + √(2 5^2) + √2 - √(2^3) = 3 √2 + 5√2 +√2- √(2^3)

- √( 2^3) lo extraemos y es = 2√2

3º Ya son semejantes, sumamos los coeficientes y dejamos el mismo índice y el mismo radicando

3√2 + 5√2 + √2 - 2√2 7√2

RAÍZ DE LA RAÍZ

( Puede sonar complicado, pero verán que cuando lo veamos poco a poco, se entenderá mejor👍 )

 ☝Cuando hay algún número entre las raíces:
Se multiplican los índices y se deja el mismo radicando
Ejemplo: 
👆 Cuando hay algún número entre las raíces:
Hay que introducir factores en el radical

Para introducir factores en un radical:
 - Se introduce el factor que sea elevado al mismo índice que tenga la raíz donde lo queramos introducir.

Por ejemplo:











Queremos introducir el 2 que está entre los dos radicales.
El índice de la raíz es 4, así que el 2 lo debemos introducir elevado a la cuarta 
Después se multiplican los índices y se opera con el radicando.

 

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
Para multiplicar radicales deben tener el mismo índice

Se deja el mismo índice y se multiplica SOLO los radicandos.

Cuando no tienen el mismo índice primero hay que reducir a índice común 

Se hace hallando el mínimo común múltiplo de los índices

DIVISIÓN DE RADICALES
Para dividir radicales deben tener el mismo índice 

Se deja e mismo índice y SOLO se dividen los radicandos.

Si no es el mismo índice, también tendremos que reducir a índice común.

 

NÚMEROS COMPLEJOS

Considero que este tema es el paso de las matemáticas de secundaria (básica) a la compleja (académica). No es difícil aprenderlo o memorizar las propiedades o reglas. Sólo hay que hincar los codos y comprenderlo. Desde mi experiencia,  ha sido fácil y no se me ha planteado tantas preguntas como pensaba que iba a ser. Los números complejos sirven para resolver por ejemplo la raíces negativas. Ya no existe la frase "No hay solución real" o "No hay solución" lo más importante del tema es saber pasar de polar a binómica y etc. Cuando sepan hacer eso, ya lo demás es pan comido.
Los números complejos sirven para abrir un poco la mente y no solo tener en cuenta los números reales y simples, es un nuevo mundo por descubrir.  

La mayoría se preguntarán: “Y cuánto vale la raíz de un número negativo?” y los profesores siempre les han dicho “No existe”

 Los números complejos pretende dar respuesta a estas preguntas a partir de la resolución de la ecuaciones

 . Para ello partimos de la ecuación sin solución real más sencilla que existe y que no posee solución en los números reales: z2 +1=0.

 Sus soluciones son la unidad imaginaria "i" (i^2 =-1) que nos permite resolver la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, en particular del 1.

A partir de aquí presentaremos la aritmética en los complejos que incluyen a los números reales así como algunas propiedades de interés.

¡EMPECEMOS!

PARTES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Si "Z" es un número complejo:

Z = a+bi

a es la parte real de Z

b es la parte imaginaria de Z

NOTITA: "i" al lado de un número, representa la parte imaginaria

El número opuesto de Z= a+bi es "-Z" y tiene opuestas las componentes real e imaginaria de "z"

-a -bi= -Z

NÚMEROS COMPLEJOS EN EL PLANO CARTESIANO

Desde los números complejos, el eje Y del plano pasó a ser la parte imaginaria.

el eje X ahora representará los números reales.

.

¿CÓMO PODEMOS VER LOS NÚMEROS COMPLEJOS?

Pues de tres formas:

Polar (mi favorita😋): Representa al número con un módulo"r" (que es el vector desde el punto (0,0i) hasta el punto determinado)  y un ángulo "θ" (que nos dice el la longitud del ángulo desde el eje real)







¿Cómo pasamos el número a polar?
-Primero tendría que estar en forma binómica
-Después calculamos Módulo y el Argumento

.
El Módulo se obtiene poniendo la parte real ("a") y la parte imaginaria ("b") AL CUADRADO y después hacemos la raíz cuadrada de la suma de los 2.


Para obtener el argumento, tenemos que hacer el arcotangente (tan-1 en la calculadora) de b/a.

¿Pero, que es la forma binómica?

 

Binómica: Se expresa con su parte real y su parte imaginaria (a + bi) pero para pasar el número a binómica, tenemos que tener el número en forma trigonométrica.

Para pasar de polar a binómica:

Primero, pasamos de polar a trigonométrica 

"r" (cosθ + "i" sen θ)

Después, resolvemos, y se nos quedará en forma binómica.
Este ejemplo

 (aunque no está la forma polar arriba, que es 2120º) 

Representa el paso de forma polar (pasando por la forma trigonométrica) a polar.

Trigonométrica: Simplemente es la ecuación 
"r" (cosθ + "i" sen θ) que se utiliza para pasar de polar a binómica

OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS

https://www.youtube.com/watch?v=SvmI2PPog_w

"BINÓMICAMENTE"

SUMA
(a,b"i") + (c,d"i") = (a+c, b+d "i")
(b y d decimos que son los números imaginarios)

Ejemplo : (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)
 -Se trata de  se separar los números reales de los imaginarios
 -Después poner los dos resultados


RESTA

 Son los mismos pasos que la suma, pero en vez de sumar, se resta

MULTIPLICACIÓN

Se multiplica "a" por bi, c y di

Después "bi" por c y di

se suma los números reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios.
Acuérdense que multiplicando los números complejos dará "i" con una potencia, como es en este ejemplo, i^2 (ya que la raíz cuadrada de -1 por la raíz cuadrada de -1 es -1)
Para las potencias de "i", hay que aprenderse la tabla de:

LAS POTENCIAS DE "i"


DIVISIÓN
ATENTOS A ESTOS EJEMPLOS:

La división consiste en multiplicar el número de arriba y el de abajo por el conjugado (el conjugado es cambiar el signo o los signos a un número, si está en positivo, se cambia a negativo y viceversa) del número del denominador

Miremos el ejercicio "a":
 El denominador es   -2+i  asi que el siguiente paso consiste en multiplicar arriba y abajo por el conjugado de -2+i (que su conjugado sería -2 +i)

 (CUIDADO CON CAMBIAR EL -2 A +2 ESO NI EN BROMA LO HAGAN,lo digo porque yo también me confundí mucho en esto)


POTENCIAS
Para poder hacer potencias elevadas a cualquier número, se utiliza

EL TRIÁNGULO DE TARTAGLIA

Y funciona así

Si siguen teniendo dudas sobre TARTAGLIA les recomiendo este vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=Jm2_I6_dPEA

"POLARMENTE"
Tranquilos, es mucho más fácil que en binómica

MULTIPLICACIÓN

Se multiplica los módulos y se suman los argumentos

Ejemplo:

   por  

= 

DIVISIÓN

Para dividir dos números complejos en forma polar, se dividen los módulos y se restan los argumentos.

Ejemplo:

   :  

 

POTENCIA
Para elevar a una potencia un número complejo en forma polar se eleva el módulo al exponente y se multiplica el argumento por el exponente.

Ejemplo:

 

FÓRMULA DE MOIVRE

Un poco de historia...

La fórmula de De Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) "x" y para cualquier entero "n" se verifica que:

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,}$

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zⁿ = 1.

SENCILLAMENTE, EXPLICA LA FÓRMULA QUE TENEMOS QUE UTILIZAR CUANDO HAY UNA POTENCIA ELEVADA A "n" TRIGONOMÉTRICAMENTE

LOGARITMOS

(no, no es tan difícil como parece)
Logaritmos al ser tan fácil ( desde mi opinión) me da rabia que todavía no tenga un ejemplo de logaritmos en la vida afuera de la clase de matemáticas, pero aún así, sigue siendo la esencia de las matemáticas, no todos saben contestar a la pregunta ¿Qué es un logaritmo?
No se me han ocurrido muchas preguntas o dudas acerca de los logaritmos, ya que lo único que se me puede ocurrir que se puede hacer mal es confundir dónde se pone un "log" en una ecuación o cuando se debería quitar.
Si se le saca provecho al tema, se podría hacer muchos proyectos con solo logaritmos y por ahora osolo tengo una frase para ellos aunque por ahora no me sirvan para nada en concreto... ¡El conocimiento es un don! 

El logaritmo de un número real positivo (en una base de logaritmo determinada) es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número.

 Por ejemplo, el logaritmo en base 10 de 1000 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3:

1000 = 10³ = 10×10×10.
Todos los problemas con logaritmos se resuelven con las siguientes propiedades:


Les pondré un ejercicio resuelto a ver si es más fácil entenderlos así:



Supongamos que: log(base 4)64 = x

Esto significa que 4(elevado a x) = 64

Como 4( elevado a 3) da 64

x=3

Aquí les dejo un video de unicoos, por si no lo entendeis del todo.

https://www.youtube.com/watch?v=g9tfN-oiG4s

4º ESO

POLINOMIOS
Es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados usando sumas, restas y multiplicaciones, … pero no divisiones.

Los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,3,... etc.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

• SUMA: Para sumar dos polinomios,se simplifican los monomios semejantes de ambos polinomios.

 

• RESTA: Para restar dos polinomios,se suma al mininuendo el opuesto del  sustraendo

•  DIVISIÓN:

            (2 métodos)

Ruffini:

Es la división de un polinomio por un polinomio.

❤ Primero se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.

❤ Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente.

❤ Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor. 

❤ Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente. 

❤ El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

❤ Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.

https://www.youtube.com/watch?v=UxAOnEDNbZw

        TEOREMA DEL RESTO:

 

 

GRADO DE UN POLINOMIO

El grado de un polinomio de varias variables es el grado mayor de los términos del polinomio.
Grado 3.
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

 El valor numérico de un polinomio, P(x), para un valor x = a, es el número obtenido al sustituir la letra x por el número a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a).

Si P(a) = 0, se dice que a es una raíz o cero del polinomio P(x). Una raíz es una solución de la ecuación P(x) = 0.






INECUACIONES

 Es una DESIGUALDAD entre dos expresiones algebraicas de una o varias incógnitas, que solo se verifica para ciertos valores de esas incógnitas; se expresa con los signos >, <, ≥ y ≤.

   "< " Menor que                                                    "≤." Menor o igual que           

  

   ">" Mayor que                                                     ">" Mayor o igual que

Se puede representar en dos distintas formas:

1º La recta real

2º En intervalo/s     

Las inecuaciones trata de poner todos los valores de "x" juntos y todos los demás al otro lado


PRIMER GRADO:

  PARÁBOLAS

Para esta parábola he utilizado GEOGEBRA
Primero, he descargado una foto de Benito Pérez Galdós.
Después he hecho 3 variables, punto "f", "g" y "h".

y otra de mi paseo por Roma (coliseo romano)


Para conseguir estas parábolas he tenido que poner (X - Y)^2

Para que la parábola tenga su punto más alto, he tenido que poner después de (X-Y)^2 - Z
Para que la parábola tenga su punto más bajo, he tenido que poner después de (X´-Y)^2 +Z

PARÁBOLAS INVERSAS

Parte de la función madre X:1

BICUADRADAS

IMPORTANTE

Una BICUADRADA es una ecuación de cuarto grado donde falta los términos X^3 y X

Pongamos un ejemplo:

x^4 -10x^2+9=0

Y hay una pequeña regla:

Vamos a decir que X^2 es igual a "t"

Y eso significa que X^4 es igual a "t^2"

y convertiremos nuestra ecuación y nos quedará:

t^2 -10t +9=0

Y ahora solo utilizaremos la regla para resolver cualquier ecuación de segundo grado (explicado en el otro tema de POLINOMIOS)

Ahora reemplazamos:

Si nos fijamos en la solución de la fórmula, vemos que "t" tiene dos posibles soluciones: 9 y 1

Se obtiene por la división que está al lado. Como no se sabe si tenemos que sumar o restar, una solución será 10+8 dividido entre 2 (9)
O restando 10-8 dividido entre 2 (1)

El último paso es pasar las soluciones de "t" a "x" ( Las soluciones de abajo)

En X^2, tenemos dos soluciones, 3 y -3
Y en X^4 tenemos 1 y -1.



PONGAMOS OTRO EJEMPLO: (Un poco más difícil)
                    TENGAMOS SIEMPRE EN CUENTA QUE X^2= T EN LAS BICUADRADAS
                               9x^4 +2x^3 + 3x^2 + 2 = 8x^4 + 2x^3

 Como veis, está el término X^3 y arriba he dicho que tiene que ser una bicuadrada cuando no tenga los términos X^3 Y X.

Bien, para saber si se trata de una bicuadrada y no es una confusión, pasaremos 8x^4 + 2x^3 hacia el otro lado para que esta ecuación sea igual a 0.

Mejor dicho, agruparemos todos los términos hacia la izquierda y para hacer eso, calculamos:
                                         +9x^4     +2x^3   +2
                                         -8x^4      -2x^3          
                                          1x^4         0x^3   +2
Como podemos ver ya no hay término X^3 y mucho menos X, a si que ahora sí es una bicuadrada

 El siguiente paso es aplicar la regla de que X^2 = T:

                                           Y nos quedaría: t^2 +3t +2 = 0


Después, resolveremos la ecuación de segundo grado con la fórmula:

                                   Las soluciones son t= -1  y  t=-2
Es decir, x debe cumplir:    x^2= -1    o    x^2=-2

Como -1 es negativo, ningún valor de x^2 podrá cumplir x^2 = -1
Como -2 es negativo, ningún valor de x^2 podrá cumplir x^2 = -2

Esto significa que esta ecuación no tiene SOLUCIÓN REAL.
        

IDENTIDADES NOTABLES

Si son ecuaciones donde intervienen las identidades notables deberíamos saber las 3 fórmulas:

La primera fórmula: Una identidad positiva, aparece cuando un binomio  está entre paréntesis, al cuadrado y con un signo "+" en el medio.

También, si nos situamos en el otro lado del "=" significa que para obtener (a + b)^2, "a" tiene que estar multiplicada por sí misma (elevada a 2 o al cuadrado) + "a" multiplicada por 2 y después por "b" + "b" multiplicado por sí mismo (elevado a 2 o al cuadrado)

Ejemplo:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab+b^2

(x + 5)^2 = x^2 + 2 x5 + 5^2 = x^2 + 10x +25

La segunda fórmula: Una identidad negativa, aparece cuando una binomio está entre paréntesis, al cuadrado y con un signo "-" en el medio.

Si no situamos en el desarrollo del binomio (al otro lado del "=") significa que "a" debe de estar multiplicado por sí mismo - "a" por 2 y por "b" + "b" multiplicado por sí mismo 

Ejemplo:

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(x-4)^2= x^2 - 2x4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16

La tercera fórmula: Una "suma por diferencia" aparece cuando hay dos binomios (uno en positivo y otro en negativo) multiplicados.

Para resolver este problema, lo único que hay que hacer es restar "a" al cuadrado con "b" al cuadrado.

Ejemplo:

( a + b) (a - b) = a^2 - ^2

(x + 7) (x-7) = x^2 + 7^2 = x^2 - 49

ECUACIONES DE 2º GRADO

Para que sea una ecuación de segundo grado, debe de llevar una "x" elevada al cuadrado

Fórmula : ax^2 + bx + c

 Se llaman "coeficientes" a los términos "a" "b" y "c"

¿Cómo lo resuelvo?

Con esta simple fórmula:

 EJEMPLOS

Como en la fórmula anterior  hay dos signos juntos, ( el + y el -) siempre hay una doble solución, X 1 cuando el problema final se hace sumando y X 2 cuando el problema final se hace restando

¡¡¡¡¡RECUERDA!!!!!

Una raíz cuadrada con un número negativo no se puede resolver, significa que la ecuación no tiene solución real.

FACTORIZAR DE 1 NÚMERO

Significa que a un número lo llegas a expresar en factores primos: (Me explico)

Aquí, se ve como claramente el número 120 lo expresamos en números primos (2,3 y 5)

 120= 2^3· 3· 5

https://www.youtube.com/watch?v=cuKI15r-P1M

¿CÓMO DIVIDIR POLINOMIOS?

 Para dividir hay varios métodos:

1ºRuffini:

Es la división de un polinomio por un polinomio.

Primero se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.

Después, se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente.

 Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor. 

Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente. 

El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.

https://www.youtube.com/watch?v=UxAOnEDNbZw

2º Teorema del resto

El resto de dividir P(x) entre (x - a) es igual a P(a), valor númerico del polinomio en x = a.

https://www.youtube.com/watch?v=8Av_OVd0snM

 RETO DE LA BOTELLA

                      ¿Qué hacer para que mi botella caiga de pie?

(Trabajo grupal)

Para todo problema, necesitamos varios pasos para solucionarlo:

 1º EXPLORACIÓN: Simplemente tenemos que conocer el problema (¿De qué va?)

 2º DISEÑO: Cuando ya conozcamos el problema, aportaremos ideas posibles entre todos,( ¿Qué se puede importar?)

3ºDESARROLLO Y ¡ EN MARCHA!: Lo siguiente que haremos es poner en marcha las ideas anteriores (¿Cuál será un éxito?)

4º ANÁLISIS Y NUESTRA REFLEXIÓN: ¡ Es hora de apuntar! Apuntaremos los resultados del apartado anterior, tanto fallos como aciertos.

5º DIFUSIÓN: Como el mismo paso dice, difundiremos nuestro trabajo hecho hasta ahora y al publicarlo, pueden decirnos si hay algún error o si está incompleto o si les gustó.

 6º EVALUACIÓN DEL PROBLEMA: Para finalizar, haremos una pequeña conclusión y nos daremos cuenta si lo hemos hecho bien o mal.

Tengan en cuenta que estos pasos vienen de ABP (Aprendizaje Basado en Problemas)

Volviendo al tema de las botellas, hablaremos de las variables:

TENGAMOS EN CUENTA LAS PERSONAS EXPERTAS E INEXPERTAS ( diferentes resultados)

- CANTIDAD DE LÍQUIDO EN LA BOTELLA: Hemos probado con  1/2, 1/3 y 1/4

Nuestro grupo tuvo más éxitos con 1/4 que con otras medidas.

Para calibrar las botellas, llenamos las botellas a ojo, y después, para saber las medidas exactas, cogimos la pesa y no, ¡ No somos buenos en las aproximaciones!

-DISTANCIA DEL TIRADOR A LA MESA (o cualquier base): La mayoría e los tiros se han hecho sentados y a 1 metro de distancia de la mesa.
Aunque después intentamos cerca de la mesa y de pie y nos resultó más fácil que la botella cayer a de pie.

- BASE DE LA BOTELLA: En esta variable, hemos comprobado que la botella con la mejor base es la botella de "FUENTE UMBRIA".
TENGAN EN CUENTA QUE DE TANTO TIRAR LA BOTELLA SE VA ABOYANDO LA BASE DE LA BOTELLA Y NO TENDRÁ TANTAS POSIBILIDADES DE QUE CAIGA DE PIE.

- IMPULSO DE LA BOTELLA: Justamente este apartado lo comprobé yo y en mi opinión y mi experiencia, hay más probabilidades de que caiga de pie si se tira con una fuerza medida ya que si la tiras demasiado lento, la botella no llegará a la base y si se tira demasiado fuerte, rodará por la base pero no caerá de pie o no tocará la mesa.


-PERSEVERANCIA: Este es el apartado más importante, nuestro grupo tiró unas 30 veces cada uno, la perseverancia en este trabajo es el número de veces que tiras la botella.

- ÁNGULO EN EL QUE TIRAS LA BOTELLA:Me explico, con esto quiero decir, la posición de la muñeca al tirar la botella, nuestro grupo ha intentado que no varíe demasiado. 

Este proyecto empezó el  14 de Diciembre.

A continuación, pondré un resultado en porcentajes de los inexpertos:

 El porcentaje exacto de 1/2 es 7%

El de 1/3  es 41%

Y, por último 1/4 es de 76%

 Y el de los Expertos:

1/2 con un porcentaje de 20%

1/3 es de 62%

1/4 con 83%

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1MfaIOCYeR56WhrqYnPh1xo961xhvX2NP3RxZM91qLsg/edit#gid=0

EN CONCLUSIÓN (respecto a las gráficas):

-Tanto a expertos (David Alba y Brayan Yanascual) como a inexpertos (Laura Balsa, Lisbeth Cordero y Nelson Andrés Castañeda) se nos da mejor las medida 1/4, mejora los aciertos si es con la botella fuente umbría y de pie cerca de la base.

-Como podemos apreciar, un medio tiene más fallos que aciertos en las dos gráficas, aconsejo no intentar más este reto con un medio.

-Y, por último, ha quedado una pequeña diferencia entre los inexpertos y expertos ya que los expertos superan la mitad de los aciertos y los inexpertos no.

Hay que decir que los expertos y los inexpertos se eligieron a raíz de las personas que practicaban este reto o que lo haya intentado más de 3 veces.

yo fui una inexperta ya que nunca había tirado la botella.

El lugar donde se realizó el proyecto fue en el aula detrás de Cali.

MI CONCLUSIÓN

( Sobre el proyecto)

Me ha parecido muy interesante este trabajo, deberíamos hacer más proyectos así porque lo más importante es aprender pero... ¡Si te puedes divertir mejor!

Sobre las conclusiones del trabajo en sí pienso que tirar 30 veces la botella me parece poco, deberíamos haber tenido más tiros.

Había un apartado en las variables que decía, "vueltas que da la botella" yo no he puesto ese apartado ya que no estoy de acuerdo, la mayoría de los tiros no llegan a dar una vuelta.

No he podido subir los videos ya que intenté subir uno y mi blog se bloqueó y se me borró todo lo escrito y no me voy a arriesgar.

¡Muchas Gracias por mirar mi blog!

 NÚMEROS REALES

PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL

Para obtener la expresión decimal de una fracción, se hace la división del numerador entre el denominador.  
8/4= 2 ⇒ Natural 4
9/4= 2,25 ⇒ Decimal exacto 4

4/3= 1,333333.... = 1,3 ⇒ Decimal periódico puro 7)

7/6= 1,166666.... = 1,16 ⇒ Decimal periódico mixto

Decimales exactos:
  N = 2,38
 100N = 238
   N = 2, 38/100

Decimales periódicos puros:

          __  

 N= 2, 38    __

100N= 238,38

99N=236

N= 236/99




 

NÚMEROS IRRACIONALES

Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es exacta o periódica.

Números irracionales son los no racionales, es decir, los que no pueden obtenerse como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es infinita no periódica.

Hay infinitos números irracionales, algunos de los cuales son especialmente interesantes:

  - La diagonal del cuadrado de lado 1: 2 

- Si p no es cuadrado perfecto, p es irracional.
- En general, si p es un número entero y n p no es un número entero (es decir, p no es una potencia n-ésima), entonces n p es irracional.
- La diagonal de un pentágono de lado unidad:  2 15 + =φ (“fi”: Número áureo)

- La relación entre la longitud de una circunferencia y su radio: Π (“pi”)

  LA RECTA REAL
  Si en una recta situamos un origen (el cero, 0) y marcamos la longitud unidad, a cada punto le corresponde un número racional o un número irracional. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Por eso, a la recta numérica la llamamos recta real.

 TRIGONOMETRÍA

Grado sexagesimal:

Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

                          ¿QUÉ ES LA RADIÁN?
                            Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un arco.

¿ QUÉ ES  EL SENO?

Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa

¿QUÉ ES EL COSENO?

Es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

¿QUÉ ES LA TANGENTE?

Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

¿QUÉ ES EL COSECANTE?

Es la razón inversa del seno.

¿QUE ES LA SECANTE?

Es la razón inversa del coseno

¿ QUÉ ES LA CONTANGENTE?

Es la razón inversa de la tangente.

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Un ángulo puede estar situado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de la circunferencia. Los valores de sus correspondientes razones trigonométricas dependen de su posición.

Cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, tercero o cuarto cuadrante siempre es posible relacionarlo con otro del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tengan los mismos valores absolutos.
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Ángulos suplementarios son los que suman 180º. Si el valor de un ángulo es "A", el valor del suplementario será "180º-A".

La relación de las razones trigonométricas de un ángulo con las de su suplementario va a permitir "reducir" ángulos del segundo al primer cuadrante.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Ángulos complementarios son los que suman 90º. Si el valor de un ángulo es "A", el valor del suplementario será "90º-A".

La relación de las razones trigonométricas de un ángulo con las de su complementario va a permitir "reducir" ángulos del cuarto al primer cuadrante.

 NOTACIÓN CIENTÍFICA

Esta semana, a casa grupo nos ha tocado un tema, y el nuestro fue la notación científica donde yo y mi compañeros explicamos qué es, para qué sirve y cómo funciona.
 Nos hemos repartido el tema en partes, y yo ahora explicaré mi parte del tema y enqué medios he buscado:
DEFINICIÓN: La notación científica es un recurso matemático que sirve para simplificar cálculos y representar en forma breve números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan las potencias de 10.

EL NÚMERO MULTIPLICADO POR LA POTENCIA DE 10 (N)  SERÁ ENTRE 1 Y 10.
Su fórmula es: N X 10^x

Para expresar el número en notación científica:

• Primero: Se identifica la coma decimal (si la hay)
• Segundo:La desplazamos  hacia la izquierda (si el exponente de 10 es positivo) o

hacia la derecha (si el exponente de 10 es negativo)

• Tercero: Se rueda la coma tantos lugares como el número de exponente tenga 10 (x)

EJEMPLO:

7,341 X 10^6 = 0,000007341 ( Se a rotado la coma 6 veces)
2,3654 X 10^-4 = 23654 ( Se ha rotado la coma 4  veces)

¿CÓMO MULTIPLICAR CON NOTACIÓN CIENTÍFICA?
Primero tenemos que saber las dos notaciones:
N1 X 10^x1   y N2 X 10^x2  
Después, saber cómo multiplicarlas:
N1 X N2 X 10^x1 + x2 (Se suma los dos exponentes de 10 de cada operación)

EJEMPLO:

5,24 X 10^6    Y    6,3 X 10^8
(5,24 X 10^6) X (6,3 X 10 ^8) = 5,24 X 6,3 X 10^6+8 = 33,012 X 10^14 = 3,3012^15

    ¿CÓMO DIVIDIR CON LA NOTACIÓN CIENTÍFICA?
Primero tenemos que saber las dos notaciones:
N1 X 10^x1   y  N2 X 10^x2
Después, saber cómo  dividirlas:
(N1: N2) X 10^x1 - x2 ( Se resta los dos exponentes de 10 de cada operación)

EJEMPLO:

5,24 X 10^7   Y   6,3 X 10^4
(5,24 : 6,3)X 10^7-4 = 0,831746 • 10^3= 8,31746 • 10^-1   • 10^3  = 8,31746 • 10^2
Aquí un vídeo que les puede servir de mucho: https://www.youtube.com/watch?v=ok-IRe6ACaI

















¿QUÉ HE APRENDIDO ESTA SEMANA?

En primer lugar, quería decir que con el cuadernillo de porcentajes que nuestra profesora nos ha dado, me ha venido bien para recordar hacer el tanto por ciento, como calcular aumentos  y disminuciones porcentuales, calcular porcentajes mentalmente...etc.

 Aparte, también aprendí unos pequeños trucos para calcular el problemas de porcentajes con algunos trucos que las profesora nos dio y, por último pero no menos importante, recordé los números reales ya que admito que se me estaban olvidando los números irracionales